Action

Action. On entend par ce mot l’effort que fait un corps qui se meut actuellement pour en mouvoir un autre ; et comme cette communication de mouvement est, par sa nature, impossible à expliquer, on se borne à la mesurer par ses effets. Le mécanicien ne se sert du mot action que pour désigner le mouvement qu’un corps produit dans un autre corps, ou celui qu’il y produirait réellement si aucune cause ne s’y opposait.

Quantité d’action. Maupertuis, dans les Mémoires de l’Académie des sciences de Paris, pour 1744, et dans ceux de l’Académie de Berlin, pour 1746, appelle quantité d’action d’un corps, le produit de sa masse par sa vitesse et par l’espace qu’il décrit. Des considérations abstraites, fondées sur la doctrine des causes finales, l’avaient conduit à penser que la nature doit agir par des moyens d’économie, qui ne lui permettent de dépenser ses forces qu’en moindre quantité possible. Suivant lui, la quantité d’action dépensée est toujours au minimum. Appliquant ces idées à diverses circonstances de mouvement, telles que la réflexion et la réfraction de la lumière, Maupertuis, en effet, parvint aux résultats qu’on était accoutumé à obtenir par d’autres procédés t et il fit de la proposition qu’on vient d’énoncer un principe fondamental de la mécanique, susceptible d’être appliqué aux problèmes du mouvement des corps.

Lagrange, dans sa Mécanique céleste, publiée en 1784, revint sur cette proposition, et non-seulement il démontra qu’elle était vraie toutes les fois que le principe des forces vives l’était, sans se servir des raisons métaphysiques sur lesquelles Maupertuis l’avait établie, mais il fit voir que l’un et l’autre de ces théorèmes n’étaient que des conséquences des équations générales du mouvement, et ne constituaient pas des principes de mécanique : ce ne sont que des résultats que le calcul déduit de ces équations, en montrant les cas où ils ont lieu ; et bien que, dans certains problèmes, ces propositions conduisent facilement aux solutions, elles ne constituent que de simples théorèmes de mécanique.

C’est en vertu du théorème de la moindre action qu’on reconnaît que lorsqu’un point mobile, qui n’est sollicité par aucune force accélératrice, est assujetti à se mouvoir sur une surface courbe quelconque, la ligne qu’il y parcourt, en vertu de l’impulsion qui lui a donné le mouvement, est la plus courte qu’on puisse tracer sur cette surface, depuis le point du départ jusqu’au point d’arrivée.

Lorsque le point mobile obéit librement à l’action des forces accélératrices qui le sollicitent, et que ces forces sont telles que l’équation des forces vives a lieu, qu’on fasse le produit de la vitesse en chaque point par l’élément d’arc décrit, et l’intégrale prise dans des limites données sera un minimum.

S’il s’agit d’un système de corps mus par des forces accélératrices pour lesquelles l’équation des forces vives subsiste, on multipliera la masse de chaque mobile par sa vitesse et par l’élément de sa trajectoire ; on prendra la somme de ces produits pour tous les corps, et on intégrera entre les limites fixées par deux positions données du système ; l’intégrale sera un minimum. Tel est l’énoncé général du principe de la moindre action.